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如何用纯几何方法证明 FB = FN  [复制]

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发表于 2023/04/15 13:45:13 来自 北京北京

最后编辑时间: 2023/04/19 10:03:18

楼主

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上图中,\(O)\和\(I)\分别是\(△ABC)\ 的外心和内心,\(D)\、\(E)\ 是\(△ABC)\角 \(B)\角和角\(C)\的平分线与对边的交点。 \(DE)\的延长线与外接圆交于\(F)\ 点。\(BD)\ 的延长线与外接圆交于\(G)\ 点,\(GF)\ 与\(AC)\ 交于\(H)\点 。作\(HN//CF)\ 并与\(AF)\交于\(N)\ 点。求证\(FB=FN)\ 。

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发表于 2023/04/16 20:24:58 来自 北京北京

没有人会做吗?

    发表于 2023/07/23 23:52:17 来自 浙江宁波

    如图RS ST TS分别垂直三条角平分线 先证明RO垂直于DE(FG)
    F G在TSI外接圆上 因为EF*EG=EA*EB=ET*EO
    再证R O O2共线, 根据九点圆的性质 O为O1,I中点,易得三点共线 (O1为圆RST圆心),所以RO垂直DE(FG)

      发表于 2023/07/24 00:07:57 来自 浙江宁波

      如图,FH交AC于P,GK交AB于Q,证明AP=AQ
      过K,H作AB,AC平行线LK LH,易得LK LH为外接圆切线 则KH为L点对应极线
      由帕斯卡定理退化为ABCKH五点的情形,KH FG相交于Y,且YA为外接圆切线,则根据配极原理 Y对应的极线必通过点L
      所以AP AQ同比于LH LK, 则PQ平行于KH,被角A平分线垂直平分, 根据上贴结论, PQFG共圆,且圆心为上贴R点

        发表于 2023/07/24 00:19:16 来自 浙江宁波

        如图,连接FC交圆BCI于V,显然B,V关于FM轴对称,则FB=FV
        角FGB=角FCB=角VRB,RB垂直BG 所以RV垂直FG,再根据上贴结论 RV垂直平分FE, FE为角AFC平分线,FNEV为菱形
        所以FB=FN
        字母标记或与题目有不同 图中字母标记可能有错位。

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