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    如何用纯几何方法证明 FB = FN  [复制]

    阅读[17001] 回复[4]

    发表于 2023/04/15 13:45:13 来自 北京北京

    最后编辑时间： 2023/04/19 10:03:18

    楼主

    分享到： qq sina

    上图中，\(O)\和\(I)\分别是\(△ABC)\ 的外心和内心，\(D)\、\(E)\ 是\(△ABC)\角 \(B)\角和角\(C)\的平分线与对边的交点。 \(DE)\的延长线与外接圆交于\(F)\ 点。\(BD)\ 的延长线与外接圆交于\(G)\ 点，\(GF)\ 与\(AC)\ 交于\(H)\点 。作\(HN//CF)\ 并与\(AF)\交于\(N)\ 点。求证\(FB=FN)\ 。
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    发表于 2023/04/16 20:24:58 来自 北京北京

    没有人会做吗？
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      发表于 2023/07/23 23:52:17 来自 浙江宁波

      如图RS ST TS分别垂直三条角平分线 先证明RO垂直于DE（FG）
      F G在TSI外接圆上 因为EF*EG=EA*EB=ET*EO
      再证R O O2共线， 根据九点圆的性质 O为O1，I中点，易得三点共线 （O1为圆RST圆心），所以RO垂直DE（FG）
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        发表于 2023/07/24 00:07:57 来自 浙江宁波

        如图，FH交AC于P，GK交AB于Q，证明AP=AQ
        过K，H作AB，AC平行线LK LH，易得LK LH为外接圆切线 则KH为L点对应极线
        由帕斯卡定理退化为ABCKH五点的情形，KH FG相交于Y，且YA为外接圆切线，则根据配极原理 Y对应的极线必通过点L
        所以AP AQ同比于LH LK， 则PQ平行于KH，被角A平分线垂直平分， 根据上贴结论， PQFG共圆，且圆心为上贴R点
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          发表于 2023/07/24 00:19:16 来自 浙江宁波

          如图，连接FC交圆BCI于V，显然B，V关于FM轴对称，则FB=FV
          角FGB=角FCB=角VRB，RB垂直BG 所以RV垂直FG，再根据上贴结论 RV垂直平分FE， FE为角AFC平分线，FNEV为菱形
          所以FB=FN
          字母标记或与题目有不同 图中字母标记可能有错位。
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