发表于 2022/11/30 21:36:30 来自 浙江杭州
今晚你可以了解此事以作纪念:
他出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间,在参 观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的平面几何题:“假设:任意一个星形,五个三角形,外接圆交于五点。求证:这五点共圆。” 在任意五角星AJEIDHCGBF中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证:K、O、N、M、L五点共圆. 题目:在任意五角星AJEIDHCGBF中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证:K、O、N、M、L五点共圆。 证明:连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA ∵∠ACN+∠AIN=∠NHD+∠AIN=∠NID+∠AIN=180° ∴A、I、N、C四点共圆 同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆 ∴∠GMN=∠GCN=∠ACN=180°-∠AKN又∠LMG=180°-∠LFG=∠LFA=∠LKA ∴∠LMN=∠LMG+∠GMN=∠LKA+(180°-∠AKN) ∴∠LMN+∠LKN=∠LKA+(180°-∠AKN)+∠LKN=180° 故K、L、M、N四点共圆 同理可证O、L、M、N四点共圆 ∴K、O、N、M、L五点共圆证毕。 【提示】此题也可以运用密格尔(A.Miquel)定理证明。密格尔定理:已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点,构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,那么,这四个三角形的外接圆共点。 |
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