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完美六边形综述(问题征解)  [复制]

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发表于 2011/06/05 19:41:43

楼主

分享到: qq sina

终于将论坛中关于“完美六边形”的内容整理完毕,当然以后还要做许多修改。一个初等的几何图形,能有这么多的相关结论,确实罕见。而这些都是文中各位作者(也包括我自己)的心血结晶。所以在整理的过程中,对于每条定理的发现者,解答者和日期的记录,我都尽量做到详实。如果有弄错的,甚至张冠李戴的,请务必告知,我再修改。我觉得在这方面无需谦虚,我们尊重事实。大家做这些探讨,不为名利,只为一份兴趣。老封先生提供的参考帖,是整理得以进行的基础。izzystar老师提供了不少好的建议,解答了我不少的疑惑。对此,我深表感谢。说是整理,不如说是自己学习的过程,而且至今还有很多没弄明白的地方,整理和学习都将继续。希望这份整理,能对你的学习带来一点小小的帮助。
从整理来看,很多问题都没有证明。有些是已解决,但我未见到解答的。有些则是至今还未解决的。但无论哪种情形,帖中都以“定理”称之,这样作是为避免内容太乱。而对这部分内容,为示区别,文字用红色来表示。以后当某个问题解决了,我就会将证明添加进去,并且将文字颜色改过来。
欢迎大家提供更多的参考材料,以使帖中的内容能不断完善。也欢迎你提出修改意见,并参与相关问题的讨论。从种种迹象来看,完美六边形还有很多性质可挖,如文中的几条定理就是在整理的过程中,由izzystar老师或我发现的。
最后是那句很俗但却很管用的话:本人知识能力有限,如果出现差错的地方,请不要见笑。对任何有益的意见,我都将表示十分的感谢。


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发表于 2011/06/05 19:43:18









    发表于 2011/06/05 19:44:55
















      发表于 2011/06/05 19:46:15


















        发表于 2011/06/05 19:47:10


















          发表于 2011/06/05 19:47:31


















            发表于 2011/06/05 19:48:37























              发表于 2011/06/06 09:15:23


              一点注记:

              定理6是定理5的直接推论, 因为这三组平行线分别垂直于 垂足六边形的一组对边.
              (因为每两个相邻的垂足, 都在 以完美六边形的一边 为直径的圆上, 该边的中点
              就是圆心; 因此, 每条"中点连线", 都是垂足六边形的一边的中垂线).

              在这个意义下, 定理7可叙述为平行六边形的性质:
              平行六边形中, 考虑每组对边的中垂线的"中线", 这三条中线共点.

              这个性质用向量很容易证明.

                发表于 2011/06/06 09:34:42

                ----------------------------------------------
                以下是引用izzystar的发言:

                一点注记:

                因为这三组平行线分别垂直于 垂足六边形的一组对边.

                ……

                ----------------------------------------------
                多谢izzystar老师的提醒,有时真的是旁观者清。这么明显的一点,我在这多次作图中竟然没看到。
                也欢迎其他论坛好友提出修改意见。

                  发表于 2011/06/06 09:44:08


                  可得到垂足六边形是平行六边形的充要条件: 原六边形是完美六边形或圆内接六边形.

                  不过证明过程是计算机完成的, 我要仔细核对一下计算步骤才能确认.


                  另外, 对定理8这种复杂构形, 我表示比较无爱.

                    发表于 2011/06/06 10:45:50

                    在这个意义下, 定理7可叙述为平行六边形的性质:
                    平行六边形中, 考虑每组对边的中垂线的"中线", 这三条中线共点.

                    这个性质用向量很容易证明.
                    ______________________________________________________________________
                    请izzystar老师写下证明吧,因为你所掌握的知识要比我们多得多。下面的内容也有很多是这样,对你来说显然的东西,别人却未必听说过。
                    ——————————————————————————————————————
                    另外, 对定理8这种复杂构形, 我表示比较无爱.
                    ——————————————————————————————————————
                    我觉得虽然这里的构形很复杂,但最后的结果还是很和谐的。
                    并且它是客观存在的事实,无论我们喜不喜欢,它都不会改变。就让它作为一个结论存在那里吧。当然作为其证明,却未必一定要去做。因为这样可能很繁琐而无多大实际意义。就如Kimberling的三角大全里的很多共点、共圆性质一样。随着计算机等先进工具的介入,使得我们可以对更复杂和更精细的结构进行探讨,这是古人很难完成的。有时能探索到一个好的结论可能比花很多时间去证明它更有趣。好比机器证明,除了能告诉我们这是对的,其实我们又能从中获得到多少美感和乐趣呢?这也是人们更偏爱手工证明的原因吧?

                      发表于 2011/06/06 12:58:57

                      已根据izzystar老师的提示对部分内容作了修改,在此表示感谢!
                      下面准备整理
                      §4  重要的特殊点
                        ① 密克点
                        ② 黄利兵点
                        ③ 内点
                        ④ 不动点
                      还是有许多不懂的地方,不免还要麻烦izzystar老师.
                      这样做,觉得对自己很有好处,今天就又明白了几个道理.另外,论坛中的有些东西确实要整理了,这样将为后来者的学习带来很大便利.自己其实做起这事很吃力,但边整理边学习.好不好不不论,就当是自己的学习笔记吧.

                        发表于 2011/06/07 08:33:57

                        ----------------------------------------------
                        以下是引用dqzy800的发言:
                        在这个意义下, 定理7可叙述为平行六边形的性质:
                        平行六边形中, 考虑每组对边的中垂线的"中线", 这三条中线共点.

                        这个性质用向量很容易证明.
                        ______________________________________________________________________
                        请izzystar老师写下证明吧.
                        ……

                        ----------------------------------------------

                        在平行六边形ABCDEF中, 取每组对边中点连线的中点P,Q,R. 则三角形PQR
                        的三条边分别平行于原平行六边形的三组对边(这可用向量推导如下:
                          OP = 1/4*(OA + OB + OD + OE),
                          OQ = 1/4*(OB + OC + OE + OF),
                        因此
                          PQ = 1/4*(OC - OA + OF - OD) = 1/4*(AF + DC),
                        注意AF与DC平行, 因此PQ与它们平行. 同理可证另两组平行.)

                        由于三条中线分别经过P,Q,R, 因此, 所谓"中心", 就是三角形PQR的垂心.

                        另外还可换个说法: 如果取平行六边形三组对边的"中线"围成一个三角形,
                        则"中心"就是该三角形的外心.

                          发表于 2011/06/07 09:28:39


                          破镜重圆构形的意义有两方面:

                          一是给出了一种简单的方式生成完美六边形, 从而方便作图
                          (注1: 任取5点, 如何作出唯一的第6点使得它们构成完美六边形?
                                从对合的角度看, 就是: 给定两组对合点, 如何作出任一点的对合像?
                          注2: 有了内点的概念之后, 可进一步简化这个作图过程; 但原来的构形更容易控制).

                          二是给完美六边形相关的一些定理指出了一种基本的论证思路. 只要这个构形
                          会证了, 那么定理2、定理14就会证了, 方法是相通的, 就是把完美六边形解释
                          为三相似.


                          下面是一些基本的完美六边形的例子:

                          1. 任取三角形ABC, 一点P关于三边的对称点分别为D, E, F, 则AFBDCE构成
                          完美六边形;
                          (这个图形当然也可解释成: 任取三角形DEF, 分别以它的一边为底, 作三个
                          顶角之和为360度的等腰三角形EFA, FDB, DEC, 则AFBDCE构成完美六边形.
                          这是控制点取在外心的情形, Napoleon构形就是它的特例).

                          2. 任取三角形ABC, 一条直线分别交三边于D,E,F, 则AFBDCE构成完美六边形;
                          (这是控制三角形退化为共线点, 而且控制点也在此直线上的情形; 特别地,
                          可以由此得到Menelaus定理).

                          这些特例(尤其是第2个,完全四边形), 都具有一些特别的性质.
                          在我看来, 完美六边形的许多性质, 都来源于对这些特例性质的推广.


                          另外还可列举许多初中几何题, 都是完美六边形的特例:

                          (1). 分别以AB、AC为一边, 向外作正方形, 则BC的中点以及这两个正方形的中心,
                          构成等腰直角三角形.

                          (2). 分别以AB、AC为一边, 向外作直角三角形ABD和ACE, 使得∠DAB=∠CAE, 且
                          ∠BDA=∠AEC=90度, 那么, BC的中点M满足 MD=ME 且∠DME = 2∠DBA.

                          (3). 设分别以AB,AC为一腰, 作等腰三角形ABD, ACE, 即BD=BA, CE=CA. 再取点F,
                          使得∠FBC=(1/2)*∠DBA, ∠FCB=(1/2)*∠ECA (注: 有向角),  则有
                            FD = FE,  且∠DFE = ∠DBA + ∠ACE.
                          (这个例子, 站在三角形ADE的角度看, 就是作三个等腰三角形, 即上面的基本例子1;
                          而按照这里的说法, 通常把它解释为旋转的复合: 以B为中心, ∠DBA为旋转角的旋转;
                          以C为中心, ∠ACE为旋转角的旋转; 这两个旋转的复合, 还是一个旋转, 中心是F,
                          旋转角则是上述两个旋转角的和).


                          从这些特例的证明中, 不难归纳出上面的定理2的证明. 老封把定理2称为完美六边形
                          的基本定理, 是有他的道理的. 赵勇先生放过了定理2的纯几何证明, 其实放过了
                          许多精彩的内容.

                            发表于 2011/06/07 12:06:53

                            在“完美六边形”方面,老封先生和izzystar老师比我理解的要透彻得多。我知道这一概念的时间还不长,对有些性质可能只知其表面,而未必能抓住本质。从论坛中看到,老封先生大约在96年左右就已写过完美六边形的综述,但未有机会发表。而这几年又有许多的新性质被发现,所以重新整理一下很有必要。我其实也想借这个机会,将完美六边形系统学习一下。现在先把框架弄出来,以后进行添加和修改就容易多了。如果有机会,看到老封先生的原稿,再进行参照修改,一定会更好。只是不知老封先生的原稿是否还在。
                            等框架全部完成,再进行下一步:补充一些结论的证明,再将内容作些精简。
                            但从目前讨论来看,论坛中对完美六边形知道的人应该并不多,更不用说论坛外了。不知何时,像“完美六边形”、“老封点”这些概念以及相关成果才能为广大的数学爱好者所熟知?看来还需在更广的范围进行推广,如果只局限于少数几个人知道这些,那么它们的意义就大打折扣了。

                              发表于 2011/06/07 15:43:18

                              利用定理1来证定理2, 尽管"容易", 但计算量不小, 而且难以看出必然性.

                              实际上我们有定理1的等价版本:

                              复平面上, 六点A,B,C,D,E,F构成完美六边形 的 充分必要条件 是

                              |    A*D     A+D    1    |
                              |                             |
                              |   B*E    B+E    1    |    =    0.
                              |                             |
                              |    C*F    C+F    1    |

                              由此得出定理2就比较顺理成章了.

                                发表于 2011/06/07 22:28:33

                                izzystar老师以上所提供的内容,等我整理完了将再进行补充和修改了。上班了,空闲时间少了,今天就只写了一点点。明天才能开始进行最后一部分§5 对合、反演。不整理不知道,琐琐碎碎还真有不少内容,而且还有很多是没写证明的,如果证明都写齐了,篇幅还要加长。超过了我原先的预想。

                                  发表于 2011/06/08 11:41:54

                                  今晚决定先不忙进行下一节的整理,而是对前面的内容做些修改。初步计划:1、15楼的行列式表达很好,应该添加进去;2、定理6、7、8、24、25准备删除,定理6现在显得简单,只是定理5的简单推论,其它几个有的太繁,有的不是完美六边形的本质属性,将它们写进去,容易对别人产生误导,使他们陷入到细枝末节中去。
                                  但定理20不知有没有留下来的意义?

                                    发表于 2011/06/08 12:27:11

                                    最好都不要删,只做加法不做减法。

                                      发表于 2011/06/08 13:55:08

                                      好,六个记号

                                        发表于 2011/06/08 23:25:24

                                        今天还是没多少空闲时间,整理得很少,而且基本上是在照抄izzystar老师的东西。一方面是因为他已经写得很好,另一方面也是因为自己以前对这些完全无知,只会照抄。好在izzystar老师写得也算通俗易懂了,看过后也大概知道是怎么回事了。不过还有些地方不明白。希望抄错的地方不会太多。想找本书看看,但我所有的几本介绍复变函数论的书,关于分式线性变换的介绍倒是不少,就是没有专门介绍"对合"的。

                                          发表于 2011/06/09 15:53:11


                                          补充两点:

                                          1. 将定理30反演一下, 就得到:

                                          考虑交于一点P的4个圆, 其中每两个圆除了P之外另有一个交点. 则这6个交点构成
                                          完美六边形.


                                          2. 关于定理33的证明, 其实展开来写的话还是很麻烦的.

                                          首先通过反演, 将结论转化为如下形式:

                                          在完全四边形中, 有4个三角形, 每个三角形的外接圆和剩下的那条直线 互为 对合像.
                                          这时, 在图形中有4个圆和4条直线. 考虑任一点P关于这些圆(直线)的反演点(对称点),
                                          则所得的8点分成4对, 互为对合.

                                          (注: 若一个圆经反演变为另一圆, 则外心在反演下变为 反演中心 关于后一个圆的
                                          反演点.)

                                          而这个结论进一步归结为如下引理(我觉得这个引理有其独立的价值, 它建立了Miquel
                                          构形与完美六边形之间的一种联系):

                                          设D,E,F分别在三角形ABC的三边BC,CA,AB上. 我们作出三角形AEF, BFD, CDE的外接圆,
                                          则图形中共有3条直线BC, CA, AB, 和3个圆.  考虑任一点P关于这些圆(或直线)的
                                          反演点(或对称点), 则所得的6点构成完美六边形.

                                            发表于 2011/06/09 19:33:31

                                            ----------------------------------------------
                                            以下是引用izzystar的发言:

                                            (注: 若一个圆经反演变为另一圆, 则外心在反演下变为 反演中心 关于后一个圆的
                                            反演点.)

                                            而这个结论进一步归结为如下引理(我觉得这个引理有其独立的价值, 它建立了Miquel
                                            构形与完美六边形之间的一种联系):

                                            设D,E,F分别在三角形ABC的三边BC,CA,AB上. 我们作出三角形AEF, BFD, CDE的外接圆,
                                            则图形中共有3条直线BC, CA, AB, 和3个圆.  考虑任一点P关于这些圆(或直线)的
                                            反演点(或对称点), 则所得的6点构成完美六边形.

                                            ……

                                            ----------------------------------------------
                                            主要还是因为很多东西没学过,如“若一个圆经反演变为另一圆, 则外心在反演下变为 反演中心 关于后一个圆的反演点”就不知道,虽然我自己用几何画板也探索到了这一现象,却一时不知其原因.
                                            另外,上面所说的引理的根据又是什么呢?

                                              发表于 2011/06/09 22:08:13

                                                                            回归糊涂
                                              花了一段时间,把关于完美六边形的相关帖子看完,以为差不多懂了。但现在觉得还是糊涂得紧!
                                              因为好多东西以前没学习过,有时为了快点看懂一些内容,拿出一本相关的书,直接翻到需要的那一页。而前后的内容都没看。这样的后果就是快速地“看懂”了帖子中的内容,但当一个新的问题出现时,要用到新的知识时,又糊涂了。
                                              受izzystar老师21楼引理的启发,想到定理21中的圆:



                                              当某四个不动点共圆时,剩下的四个不动点也共圆,这样的两个圆称为是一对的。共有4对圆。以前发现一个性质,因为觉得繁,一直没写。这里提一下:4对圆的圆心连线的中点共线。但这里不说这个。
                                              受21楼启发,我发现这里也有类似的性质:
                                              平面任意一点关于这4对圆反演得到的4对点是互为对合的。
                                              请izzystar老师说说,怎么处理这类问题呢?
                                              要是ji23老师,老封和izzystar能各送三分之一功力给我,那该有多好!

                                                发表于 2011/06/09 23:07:30

                                                由于直线可以看成广义的圆,点关于直线的反射也就是特殊的反演。如果在这种广义的圆和反演之下,是否有:
                                                将平面上三对圆关于一点反演得到三对新圆,如果P点关于原来三对圆的反演点互为对合,则P点关于三对新圆的反演点也是互为对合的。

                                                  发表于 2011/06/10 06:33:15

                                                  类似的现象,早晨又想到一个:
                                                  一点关于完美六边形4对相对基本三角形的外接圆的反演点是互为对合的。前文所述基本上都是几个对象关于一点的反演(除了Frank的定理31),此时反演是同一个,由文中定理,一般较容易解决。但从你的引理开始,变成了另一结构,都是一点关于多个对象的反演(Frank的定理31也可看做此类型,因为定理显然等价于:任意一点关于完全四点形的三组对边的反射点是互为对合的,而反射是特殊的反演。这类问题的解决方法是否与此类似?但有时又有很大不同。),反演不是同一个,不知如何处理。

                                                    发表于 2011/06/10 06:44:12

                                                    ----------------------------------------------
                                                    以下是引用izzystar的发言:


                                                    首先通过反演, 将结论转化为如下形式:

                                                    在完全四边形中, 有4个三角形, 每个三角形的外接圆和剩下的那条直线 互为 对合像.
                                                    这时, 在图形中有4个圆和4条直线. 考虑任一点P关于这些圆(直线)的反演点(对称点),
                                                    则所得的8点分成4对, 互为对合.


                                                    ……

                                                    --------------------------------------------
                                                    如果24楼,25楼正确,就能推出上面的结果:将完美六边形关于一个H点反演变成完全四边形,此时一对相对基本三角的外接圆正好变成了完全四边形中一个三角形的外接圆和剩下的一条直线。由24楼,上面izzystar老师的结论与25楼结论同真同假。

                                                      发表于 2011/06/10 06:49:18

                                                      由25楼,23楼也就解决了。因为根据文中的一个结果:任3对不动点构成完美六边形。而4对圆就是这些完美六边形中相对基本三角形的外接圆。
                                                      没时间了,要去上班了。

                                                        发表于 2011/06/10 06:57:09

                                                        由此想到,23楼的一个性质竟是下面性质的推论:
                                                        完全四边形4对基本三角形外心连线的中点共线。



                                                          发表于 2011/06/10 08:41:50

                                                          ----------------------------------------------
                                                          以下是引用dqzy800的发言:
                                                          ----------------------------------------------
                                                          “若一个圆经反演变为另一圆, 则外心在反演下变为 反演中心 关于后一个圆的反演点”
                                                          ……

                                                          ----------------------------------------------

                                                          这是因为反演具有"保圆性"并且保持"对称性". 即,
                                                          1. 一个圆反演后仍是圆(直线看作特殊的圆);
                                                          2. 若两点关于一个圆对称(即互为反演点), 则把这两点及一圆反演后, 所得的两点仍然
                                                          关于所得的圆对称.

                                                          要解释上述现象, 只需看到:

                                                          原来, 圆心和无穷远点是对称的; 反演后, 无穷远点变为反演中心, 所以圆心就变为
                                                          反演中心关于该圆的反演点.

                                                            发表于 2011/06/10 08:47:12

                                                            ----------------------------------------------
                                                            以下是引用dqzy800的发言:


                                                            平面任意一点关于这4对圆反演得到的4对点是互为对合的。
                                                            请izzystar老师说说,怎么处理这类问题呢?
                                                            ……

                                                            ----------------------------------------------

                                                            本质是3组圆的情形, 即对21楼引理的反演:

                                                            如果圆(AEF), 圆(BFD), 圆(CDE)交于一点M,  圆(BDC), 圆(CEA), 圆(AFB)交于一点N.
                                                            那么, 任一点关于这6个圆的6个反演点构成完美六边形.

                                                              12345 到第

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