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▲黄利兵老师  [复制]

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发表于 2011/12/10 09:19:42

楼主

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  黄利兵老师和陆洪文博导合著的《解析几何》的确是一本好书:有广度、有深度、有浓度、有难度,更有高度。读后受益匪浅。该书第169页有如下

  【题1】存在一个三角形,内接于椭圆x²/a²+y²/b²=1且外切于圆x²+y²=r²的充要条件是1/r=1/a+1/b.

  下面的问题,请黄老师赐教:

  【题2】存在一个三角形,内接于椭圆x²/a²+y²/b²=1且外切于椭圆x²/m²+y²/n²=1的充要条件是什么?

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发表于 2011/12/10 10:07:46

利用Poncelet闭折线定理(Poncelet Porism), 只需计算一个特例三角形即可得到充要条件.

不妨设a,b,m,n均为正数. 取x^2/m^2+y^2/n^2=1在右端点(m,0)处的切线,
与x^2/a^2+y^2/b^2=1相交, 得一个交点A(m, b*sqrt(1-m^2/a^2)).

又取椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 的左端点B(-a, 0). 则直线AB的方程为

y = b*sqrt(1-m^2/a^2)/(a+m)*(x+a),

令直线AB与椭圆x^2/m^2 + y^2/n^2 = 1相切, 利用判别式即得到

(a*n-b*m+a*b)*(a*n+b*m-a*b) = 0.

注意a>m, b>n, 故上述第一个括号恒大于0. 因此充要条件是 a*n + b*m - a*b = 0.
也即

  m/a + n/b = 1.

    发表于 2011/12/10 10:12:59

      谢谢黄老师的赐教!

      此时,△ABC是光反射三角形吗?如果是光反射三角形,这个条件还充分吗?

     
     

      发表于 2011/12/10 10:42:09

      这里给出的条件 m/a + n/b = 1 是两个椭圆的"封闭指数"为3的充要条件. 对应的
      三角形一般不是光反射的.

      如果进一步要求ABC是光反射三角形, 则由Poncelet小定理, 两个椭圆必须是共焦点的.
      即需要增加条件 m^2 - n^2 = a^2 - b^2.

        发表于 2011/12/10 10:42:15

          椭圆x²/a²+y²/b²=1的所有内接光反射三角形外切于椭圆x²/m²+y²/n²=1,记d^2=(a^4+b^4-a^2b^2)^0.5,其中m=a*(d^2-b^2)/(a^2-b^2),n=b*(a^2-d^2)/(a^2-b^2),显然,m^2-n^2=a^2-b^2,即与原椭圆x²/a²+y²/b²=1共焦点,且m/a+n/b=1.(整理网上资料)

          黄老师是真正的实力派高手,敬佩!

          还有一个难题,也请黄老师和各位老师赐教:

          设△ABC的三边长为a、b、c,使△ABC为光反射三角形的外接-内切共焦椭圆偶是唯一的,求这两个椭圆的长、短半轴的大小?

          发表于 2011/12/10 11:02:28

          若ABC是锐角三角形, 设内心为I, 分别过A,B,C作AI, BI, CI的垂线, 交成三角形XYZ.
          则这两个共焦点的椭圆分别与ABC及XYZ的三边相切. 换句话说, 两个焦点P,Q
          同时是ABC和XYZ的等角共轭点.


            发表于 2011/12/10 11:22:57

              再谢黄老师的赐教!

              这个运算量应该较大。有空将按黄老师的思路做一下。

              对于给定的△ABC,那两个外接-内切椭圆的两个公共焦点当是一对类似“老封点偶”的特殊点,似乎不在ETC中......

              发表于 2011/12/10 14:56:25

              ----------------------------------------------
              以下是引用xiangcunfaxian的发言:
                黄利兵老师和陆洪文博导合著的《解析几何》的确是一本好书:有广度、有深度、有浓度、有难度,更有高度。读后受益匪浅。……
              ----------------------------------------------
              确如楼上所言,有很多精彩的内容,有些是别的书上很难见到的.作为奥数用书,一些内容可能深了.而作为真正对几何感兴趣而且想进一步研习的人,就值得一读了.我也有这书,但只是翻了翻,还没读.因为还有其它的书要看.
              我是2010年通过老封先生才知道了东方论坛,才慢慢了解了几何世界中的一些精彩内容.这之前,我基本上没接触过网络,一直以为初等几何就是高中课本中的那些内容,并且不知看哪些书,当然即使知道当时也没办法买到.
              进入这个论坛后,才知道自己那么多东西都不懂.第一次通说了“反演”、“垂极点”、“等角共轭点”,第一次听说了梁绍鸿先生和他的《初等数学复习及研究(平面几何)》,至于射影几何什么的只是听过,从来也没见过这方面的书.太多太多了……
              自己有了电脑后,慢慢的才知道要看哪些书,通过网络也才买到了这些书.但年岁不小,所知却比论坛中的一些学生都不如,头脑又很愚笨.不过我现在学这些东西,只是一份兴趣,别无他求.也不给自己定什么目标,每天看看书,怡然自乐吧.大概“愚人百思,也能有一得”吧?

                发表于 2011/12/11 00:10:06

                分别过A,B,C作AI, BI, CI的垂线, 交成三角形XYZ?



                  发表于 2011/12/11 08:15:36

                  ----------------------------------------------
                  以下是引用xiangcunfaxian的发言:
                    再谢黄老师的赐教!

                    这个运算量应该较大。有空将按黄老师的思路做一下。

                    对于给定的△ABC,那两个外接-内切椭圆的两个公共焦点当是一对类似“老封点偶”的特殊点,似乎不在ETC中......
                  ……

                  ----------------------------------------------


                  站在三角形XYZ的角度, 外接的那个椭圆是Perspector为垂心I(也就是三角形ABC的内心I)的
                  内切圆锥曲线(三个切点分别是垂足A,B,C). 由此出发, 计算量似乎并不大.

                    发表于 2011/12/11 08:48:18

                    查到了, ABC的外接椭圆其实是XYZ的orthic inconic, 见如下网页

                    http://mathworld.wolfram.com/OrthicInconic.html

                    在下面的网页上有更详细的数据

                    http://www.paideiaschool.org/teacherpages/steve_sigur/resources/inconics/macbeath.html

                    下面补个图



                      发表于 2011/12/11 09:28:15

                      显然内切椭圆画法有误!
                      黄老师,似乎还有个问题:内切椭圆经过A,B,C并与ZY,XZ,XY相切的椭圆如何画出??

                        发表于 2011/12/11 09:46:19

                          “光反射三角形”问题具有深远的物理背景,应该就是陈省身大师所说的“好课题”。看来,老外已经捷足先登了,请黄老师把国外数学家的有关工作介绍一下。谢谢!

                          发表于 2011/12/11 09:48:49


                            

                            

                            发表于 2011/12/11 10:01:33


                               

                              

                              发表于 2011/12/11 11:40:40

                              ----------------------------------------------
                              以下是引用数学星空的发言:
                              显然内切椭圆画法有误!
                              黄老师,似乎还有个问题:内切椭圆经过A,B,C并与ZY,XZ,XY相切的椭圆如何画出??
                              ……

                              ----------------------------------------------

                              内切椭圆并非只有切于中点的那一个. 在三角形ABC中, 任意指定一点D, 设AD,BD,CD分别交
                              对边于E,F,G, 则有唯一的圆锥曲线与三边相切于E,F,G. 这点D称为该圆锥曲线的perspector.

                              给定三角形ABC和perspector D, 相应的内切圆锥曲线作法如下:






                                发表于 2011/12/11 12:41:39

                                多谢黄老师的指点



                                  发表于 2011/12/11 14:32:50

                                  ----------------------------------------------
                                  以下是引用chendu619的发言:

                                    

                                    ……

                                  ----------------------------------------------
                                  这里有Steiner椭圆的离心率公式.正好发现一个与此有关的问题,哪位能解?


                                    发表于 2011/12/11 14:50:27

                                    如果对△D1E1F1和△D2E2F2各自作同样的操作,则得到的四个小垂足三角形的Steiner椭圆的离心率还是相同的.所以这个过程可以一直进行下去,属于同一级的所有垂足三角形的Steiner椭圆的离心率都是相同的.

                                      发表于 2011/12/11 15:06:07

                                      不同于18楼,我们再作另一种类型的垂足三角形,发现还是存在相同的结论.
                                      在17楼中,如果再作X1对于△D1E1F1的垂足三角形以及X2对于△D2E2F2的垂足三角形,则得到的两个二级垂足三角形的Steiner椭圆的离心率也相同.


                                      注:我们知道这样得到的第三级垂足三角形与原三角形相似,所以上面的结论对于第三级垂足三角形而言是显然的.

                                        发表于 2011/12/11 17:47:14

                                        ----------------------------------------------
                                        以下是引用dqzy800的发言:
                                        ----------------------------------------------
                                        正好发现一个与此有关的问题,哪位能解?


                                        ……

                                        ----------------------------------------------

                                        比较显然. 由于X点就是其垂足三角形的共轭重心, 而Steiner内切(外接)椭圆的离心率
                                        取决于外心、共轭重心之距离与外接圆半径之比.

                                        注: Steiner外接椭圆, 是Lemoine线的等角共轭像, 而Lemoine线是共轭重心关于外接圆
                                        的极线. 而熟知, 三角形的外接圆锥曲线的离心率, 取决于其等角共轭像离开外接圆的距离.

                                          发表于 2011/12/11 20:12:59

                                          ----------------------------------------------
                                          以下是引用dqzy800的发言:
                                          不同于18楼,我们再作另一种类型的垂足三角形,发现还是存在相同的结论.
                                          在17楼中,如果再作X1对于△D1E1F1的垂足三角形以及X2对于△D2E2F2的垂足三角形,则得到的两个二级垂足三角形的Steiner椭圆的离心率也相同.


                                          注:我们知道这样得到的第三级垂足三角形与原三角形相似,所以上面的结论对于第三级垂足三角形而言是显然的.

                                          ……

                                          ----------------------------------------------


                                          这是因为

                                          对于三角形ABC的一对等角共轭点P, Q, 总有: P关于其垂足三角形的垂足三角形, 相似于Q的垂足
                                          三角形.

                                          或等价地: P点关于三角形ABC的垂足三角形, 相似于A,B,C关于某个圆(P)的反演点为顶点的三角形.

                                            发表于 2011/12/11 21:51:58

                                            ----------------------------------------------
                                            以下是引用izzystar的发言:
                                            注: Steiner外接椭圆, 是Lemoine线的等角共轭像, 而Lemoine线是共轭重心关于外接圆
                                            的极线. 而熟知, 三角形的外接圆锥曲线的离心率, 取决于其等角共轭像离开外接圆的距离.

                                            ……
                                            ----------------------------------------------
                                            多谢izzystar老师的解答,主要是上面“熟知”的结论不知道.这是前不久在探索老封点的性质的过程中注意到的.
                                            另外,请问:老封点如何定义?是定义为Steiner内切椭圆的两个焦点吗?从网上的一点资料看,应该是老封先生从另外的角度发现了这两个点,然后得到这两个点就是Steiner椭圆的焦点的.在论坛中称这两个点为“老封点”,如果正式的这么称呼,恰当吗?还是干脆称为Steiner内切椭圆的焦点呢?

                                              发表于 2011/12/11 23:48:58

                                              背景不明,建议称为Steiner点。

                                                发表于 2011/12/12 09:16:14

                                                ----------------------------------------------
                                                以下是引用dqzy800的发言:
                                                -------------------------------------------
                                                多谢izzystar老师的解答,主要是上面“熟知”的结论不知道.这是前不久在探索老封点的性质的过程中注意到的.
                                                另外,请问:老封点如何定义?是定义为Steiner内切椭圆的两个焦点吗?从网上的一点资料看,应该是老封先生从另外的角度发现了这两个点,然后得到这两个点就是Steiner椭圆的焦点的.在论坛中称这两个点为“老封点”,如果正式的这么称呼,恰当吗?还是干脆称为Steiner内切椭圆的焦点呢?……

                                                ----------------------------------------------

                                                在我看来, 称呼并不重要, 关键是大家都明白该称呼的含义并且方便好记. 对于一些常见且重要的特殊点
                                                或线, 取个简单好记的名字是十分必要的. 否则, 如果总是使用“三条中线的交点”, “外接圆圆心”等等,
                                                含义是足够清楚了, 却嫌啰嗦. 老封点就很好, 国人都承认, 交流起来不至于产生障碍, 就够了.

                                                纠缠这种名称上的事, 毫无益处.

                                                “熟知”的结论是《解析几何》P185的例4(含注), 相关的一个结论是该章的最后
                                                一个习题, P197, 习题7.

                                                另外, Steiner点是Steiner外接椭圆与外接圆的第四个交点.

                                                  发表于 2011/12/12 12:31:39


                                                    

                                                    发表于 2011/12/12 13:18:33


                                                    25楼这个定理似乎可以非常简单地得到, 计算量不大.

                                                    首先, 若ABC是椭圆的周长最大的内接三角形, 则A,B,C处的法线必交于三角形的内心I.
                                                    这样, 该椭圆就成为三角形XYZ的orthic inconic, 其中X,Y,Z是三角形ABC的三个旁心;
                                                    换句话说, 该椭圆是三角形ABC的外接椭圆, perspector是内心I.

                                                    这样, 剩下的计算分为两步:

                                                    第一步, 对任一三角形ABC, 计算perpector为内心I的那个外接椭圆的长短半轴(用三边长
                                                    表示)

                                                    第二步, 令上述长短半轴分别等于a,b, 从而得到ABC的三边长之间的两个关系, 其中之一
                                                    应该就是其周长为定值L.

                                                    这里的第一步可以用重心坐标或三线坐标来完成.
                                                    注: 已知perspector, 求外接圆锥曲线的长、短轴等 有现成的公式.
                                                    因一时不好查到, 稍后我推导一下再发上来.

                                                      发表于 2011/12/12 13:28:52

                                                        期待精彩

                                                        发表于 2011/12/12 16:32:34

                                                        关于三角形ABC的外接圆锥曲线, 如下的构造较为关键:

                                                        如果P,P*是一对等角共轭点, P*的三线性极线为l, 那么, 以P为perspector
                                                        的外接圆锥曲线, 恰好是直线l的等角共轭像. 也就是说, 当动点M跑遍直线l
                                                        时, 其等角共轭点跑遍该外接圆锥曲线.

                                                        对于椭圆的情形, 如下两个结论在计算长短轴时是必不可少的:


                                                        1. 其离心率为 e = sqrt(2R/(R+d)), 其中R是三角形ABC的外接圆半径, d是
                                                        外心O到直线l的距离.


                                                        这个结论老封和老殿应该很熟悉了, 他们独立发现这一点, 非常不容易.

                                                        而当perspector的三线坐标为p=(u,v,w)时, 可根据上述结论得到离心率为
                                                        e = sqrt(2/(1+k)),
                                                        其中 k=(u*cos(A)+v*cos(B)+w*cos(C))/sqrt(u^2+v^2+w^2-2vw*cos(A)-2wu*cos(B)-2uv*cos(C)).

                                                        特别地, 当perspector为内心时(三线坐标为(1,1,1)),
                                                        k=J/sqrt(3-2J), 其中 J = cos(A) + cos(B) + cos(C).


                                                        2. 其面积与三角形ABC的面积之比为 4πxyz/(2yz+2zx+2xy-x^2-y^2-z^2)^(3/2).

                                                        这里(x,y,z)是perspector的重心坐标.


                                                        后面这一结论, 我查了很久都没查到出处, 其实证明相当直接, 就是作仿射变换, 将
                                                        外接椭圆变为圆, 而变换的过程中perspector的重心坐标不变.

                                                          发表于 2011/12/17 08:36:04

                                                          以下是引用izzystar的发言:
                                                          -------------------------------------------
                                                          25楼这个定理似乎可以非常简单地得到, 计算量不大.

                                                          首先, 若ABC是椭圆的周长最大的内接三角形, 则A,B,C处的法线必交于三角形的内心I.
                                                          这样, 该椭圆就成为三角形XYZ的orthic inconic, 其中X,Y,Z是三角形ABC的三个旁心;
                                                          换句话说, 该椭圆是三角形ABC的外接椭圆, perspector是内心I.

                                                          这样, 剩下的计算分为两步:

                                                          第一步, 对任一三角形ABC, 计算perpector为内心I的那个外接椭圆的长短半轴(用三边长
                                                          表示)

                                                          第二步, 令上述长短半轴分别等于a,b, 从而得到ABC的三边长之间的两个关系, 其中之一
                                                          应该就是其周长为定值L.

                                                          这里的第一步可以用重心坐标或三线坐标来完成.
                                                          注: 已知perspector, 求外接圆锥曲线的长、短轴等 有现成的公式.
                                                          因一时不好查到, 稍后我推导一下再发上来.
                                                          ----------------------------------------------
                                                          黄老师:已经过去一周了。。。。。。


                                                            发表于 2011/12/17 17:07:09

                                                            关于25楼定理, 我后来发现想复杂了.
                                                            虽然用28楼结论可以算, 但更简单的办法是直接利用1楼和3楼的两个充要
                                                            条件(我相信chendu619早就知道这个办法了):

                                                            若ABC是椭圆的周长最大的内接三角形, 则它必是光反射三角形(即每一顶点处
                                                            的法线都是角平分线). 这样, 椭圆的两个焦点P,Q一定是它的一对等角共轭点.
                                                            从而, 又有一个以P,Q为焦点的圆锥曲线, 内切于该三角形. 容易说明, 这一
                                                            内切圆锥曲线一定是椭圆.

                                                            由1楼和3楼, 该内切椭圆的长短轴m,n满足条件
                                                            m/a + n/b = 1,
                                                            m^2 - n^2 = a^2 - b^2.
                                                            由此可解得
                                                            m=a(d^2-b^2)/(a^2-b^2),  n=b(a^2-d^2)/(a^2-b^2).
                                                            其中d^2=sqrt(a^4+b^4-a^2b^2).

                                                            接下来, 计算三角形ABC的周长并不困难, 只需计算一个特例三角形.


                                                            ======

                                                            我在28楼所说的, 其实是计算任一外接椭圆的长短轴的办法. 例如, 针对
                                                            4楼所说的外接椭圆的情形, 假设三角形ABC的边长为a=y+z, b=z+x, c=x+y,
                                                            则外接椭圆的

                                                            离心率为 e = sqrt(2/(1+k)),
                                                            这里 k = (w+1)/sqrt(1-2w), 其中 w = 4xyz/[(y+z)(z+x)(x+y)].

                                                            面积为 S = (π/2)*(y+z)(z+x)(x+y)*sqrt(xyz(x+y+z))/(yz+zx+xy)^(3/2),

                                                            利用这两个数据, 计算椭圆的长短轴应该没有任何困难, 只是表达式比较繁琐
                                                            罢了.

                                                              12 到第

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