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关于蒙日圆的一些想法  [复制]

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发表于 2013/06/06 12:32:14

楼主

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相应的抛物线与双曲线的呢?

要是角度为60°,120°呢?

这里引用的是史老师的图


  



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发表于 2013/06/06 18:17:40

有心圆锥曲线的内、外准圆 

   定理1  椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)的外切矩形内接于圆x²+y²=a²+b².①

  定理2 双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>b>0,即e<√2)的外切矩形内接于圆x²+y²=a²-b².②

  定理3  椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)的内接菱形外切于圆x²+y²=a²b²/(a²+b²).③

  定理4  双曲线x²/a²-y²/b²=1(b>a>0,即e>√2)的内接菱形外切于圆x²+y²=a²b²/(b²-a²).④

  注记(1)称圆①、②为有心圆锥曲线的外准圆,圆①又叫蒙日圆,是法国数学家G.Monge(1745-1818)最先发现的;称圆③、④为有心圆锥曲线的内准圆。

  (2)定理1-定理4很可能是重复发现的结论。(外)准圆是单墫教授命名的。

  推论1  椭圆面积是其内、外准圆面积的几何平均值。

  推论2  椭圆的内、外准圆均与其准线相离;e∈(1,√2)的双曲线的外准圆和e∈(√2,+∞)的双曲线的内准圆均与其准线相交。

  推论3  设有心圆锥曲线(e∈(0,1)∪(√2,+∞))的半焦距为c,内准圆半径为r,则

  (1)当e∈(0,(√5-1)/2)时,r/c>1,

  (2)当e=(√5-1)/2时,r/c=1,

  (3)当e∈((√5-1)/2,1)时,r/c<1;

  (4)当e∈(√2,(√5+1)/2)时,r/c>1,

  (5)当e=(√5+1)/2时,r/c=1,

  (6)当e∈((√5+1)/2,+∞)时,r/c<1.



 

    发表于 2013/06/10 16:09:27

    如果已知椭圆x²/a²+y²/b²=1 的任意两条切线的夹角为60°,120°,两条切线交点的轨迹?




    相应的抛物线与双曲线的呢?

      发表于 2013/06/10 20:24:54

      此图应该与椭圆周长有些关系

        发表于 2013/06/10 20:28:11

        如果椭圆外一点的切线长之和为定值的轨迹方程为?

          发表于 2013/06/10 20:30:05

          就是给定椭圆,|LM|+|LN|=定值,L的轨迹

            发表于 2013/06/10 21:09:49

            引用:原回复由 @碘化银 于 2013-06-10 16:09:27 发表
            如果已知椭圆x²/a²+y²/b²=1 的任意两条切线的夹角为60°,120°,两条切线交点的轨迹?


            [img] face="" color="" size="4">以前推导过,似乎是四次曲线。。。。。。

              发表于 2013/06/10 21:12:33

              引用:原回复由 @碘化银 于 2013-06-10 20:24:54 发表
              此图应该与椭圆周长有些关系

              这个课题,老外已经研究得非常透彻了,国内黄利兵老师最知详情。。。。。。

                发表于 2013/06/10 21:14:30

                引用:原回复由 @碘化银 于 2013-06-10 20:28:11 发表
                如果椭圆外一点的切线长之和为定值的轨迹方程为?
                在几何吧中看到过,记不清了。。。。。。

                  发表于 2013/06/21 19:35:00

                    发表于 2013/06/21 19:41:00


                    这就是蒙日圆的推广了吧!



                      发表于 2013/07/19 15:06:27

                      我只是来捞米粒的,不多不少,刚好一粒,甩一甩裤脚,不带走一片泥巴。。。

                        发表于 2013/07/24 15:53:00

                        哪位高手能告诉我哪错了

                        我先用该直角坐标方程化为极坐标方程(因为极坐标方程在几何画板中可以容易画出)


                        步骤为

                        于是在几何画板中画出椭圆的极坐标方程,在画出该方程,发现该方程上的点对椭圆的张角会变化。




                        这到底是哪里出了问题?

                        帮帮忙吧!!

                        O(∩_∩)O谢谢,我知道了!




                          发表于 2013/07/24 17:47:51

                          张角为π/3时发个图

                          原图:

                          http://bbs.cnool.net/cthread-4195405.html

                            发表于 2013/08/11 21:10:00

                              发表于 2013/08/11 21:11:25

                              下图是我多年前画的,刚翻出来,也贴在这里,供参考:



                                发表于 2019/07/05 22:10:02

                                我也证明一下蒙日定理试试

                                依据彭色列闭合定理,黄色矩形成立,必定绿色和粉红色也成立。
                                上面彩色图形成立。
                                因此,蒙日定理成立。是彭色列闭合定理的一个特例而已

                                  1 到第

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